5.3 定积分的换元积分法与分部积分法
【回顾】【不定积分的换元积分法】【不定积分分部积分法】
一、换元积分法
Th，f(x)∈C[a，b]，x=φ(t)满足：
①φ(t)单调函数，且φ(α)=a，φ(β)=b；
②x=φ(t)连续可导，则
∫【a，b】f(x)dx
=∫【α，β】f[φ(x)]φ'(x)dt
【证明】【……左边=……右边=……】
【例1】【例2】【例3】
重点【例4】f(x)∈C[-a，a]，证：
①∫【-a，a】f(x)dx=∫【0，a】[f(-x)+f(x)]dx；
②若f(-x)=f(x)，则
∫【-a，a】f(x)dx=2∫【0，a】f(x)dx；
③若f(-x)=-f(x)，则
∫【-a，a】f(x)dx=0.
【例5】
【例6】f(x)∈C[0，1]，证：
①∫【0，π/2】f(sinx)dx
=∫【0，π/2】f(cosx)dx
②∫【0，π】xf(sinx)dx
=π/2∫【0，π】f(sinx)dx
【注解】
①要证明一个积分限为[-a，0]变成积分限为[0，a]的，作x=-t变换
②证明积分限[a，b]不变的，作x+t=a+b
③证明[a，a+b]变成[0，b]的，作x-a=t
【例7】
【例8】设f(x)，以T为周期，证：
①∫【a，a+T】f(x)dx=∫【0，T】f(x)dx【周期函数定积分的平移性质】
②∫【0，nT】f(x)dx=n∫【0，T】f(x)dx.
二、分部积分法
∫【a，b】udv=uv|【a，b】-∫【a，b】vdu
【例1】【例2】
【重要】【例3】令In=∫【0，π/2】sin^(n)xdx=∫【0，π/2】cos^(n)xdx.
证：In=[(n-1)/n]I(n-₂)
【证明】【……】
【注解】令In=∫【0，π/2】sin^(n)xdx=∫【0，π/2】cos^(n)xdx.
①In=[(n-1)/n]I(n-₂)【每使用一次降两次】
②I₀=π/2，I₁=1.
【例4】求∫【0，π/2】sin¹²xdx
【例5】求∫【0，π/2】cos¹¹xdx
5.3结束。下面看第四节。
5.4 反常积分【广义积分】
前面所讨论的定积分及其应用都是在有限的积分区间和被积函数有界(特别是连续)的条件下进行的，在科学技术和经济管理中常需要处理积分区间为无限区间或被积函数在有限区间上为无界函数的积分问题，这两种积分被称为反常积分，相应地，前面讨论的积分称为常义积分.——《高等数学》
先讲【注解】。define。收敛于A，其实就是等于A。极限不存在，反常积分发散，就是不存在。
【例1】
……………………………………
2020年8月19日。周三。
早上被社区广播吵醒了。
今天的梦又是令我耳目一新。变成女孩子在女子学校上学，就教学内容来看应该接近高中。原来女孩子之间也有欺负啊，还有并不是所有女孩子都是小仙女，哇，原来还有这样令人讨厌的女的，我不知道女生间是不是真的那样相处，但总归像是做了一场梦，醒来后还是觉得像是短暂穿越附身。大概有两段剧情，一段是课堂活动，包括课堂上、课间还有午餐。另一段剧情是舞蹈课。说到这又想起来还有个梦，在女校前面还有个正常的奇幻梦。有点像真人游戏，带点恐怖的，但又有温暖的元素，值得一提的是第一次梦见马涛，他在这个大型游戏世界很熟的样子，游刃有余。至于为什么梦见马涛，我觉得是最近马涛老是在群里每天翻新搞人心态给我留下来深刻的心灵印记。
……
午餐，土豆块干焖辣排骨、冬瓜、豆芽、辣椒豆干、鱼块、馍馍。
……
八卦也并不都无聊，有的还蛮有意思的。打麻将经济流动是一方面、消遣是一方面、信息的产生与传播所构建的社交才是娱乐点。
……
马飞昨天卸载了游戏。
……
今天的计划是看完反常积分结束第五章，然后开启第六章。总共上册7章，下5五章。加快进度吧。
……
5.4【例1】……敛散性
【例2】【例3】【例4】
【注解】Γ-函数
1.define，形如∫【0，+∞】x^(α-1)e^-xdx=Γ(α)
如：∫【0，+∞】x^5·e^-xdx=Γ(6)
又如：∫【0，+∞】x^(1/2)·e^-xdx=Γ(3/2)
2.特性：
①Γ(α+1)=αΓ(α)；
②Γ(n+1)=n!；
③Γ(1/2)=(π)^½.
本【例1】【例2】【例3】
二、无界函数的反常积分
三种情形。左边、右边、中间……瑕点。本【例1】【例2】【例3】【例4】
第五章结束。
第六章，定积分的应用。
主要是两个方面应用，一个是几何应用，一个是物理方面的应用。
第一节元素法。6.1元素法。当然，视频课程章节安排与我使用的教材内容安排有差异。比如上册教材只第〇章预备知识和五章内容，而视频课程有七章，其实只是把教材的一元函数积分学及其应用分为了不定积分、定积分、定积分的应用三章。实际上册内容还是上册内容。
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